虚数

虚数[编辑]

维基百科，自由的百科全书

各种各样的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {R} ^{+}\end{smallmatrix}}}$ 自然数 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {N} \end{smallmatrix}}}$ 正整數 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {Z} ^{+}\end{smallmatrix}}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {Q} \end{smallmatrix}}}$ 代數數 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {A} \end{smallmatrix}}}$ 实数 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {R} \end{smallmatrix}}}$ 複數 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {C} \end{smallmatrix}}}$ 高斯整數 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {Z} [i]\end{smallmatrix}}}$ 负数 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {R} ^{-}\end{smallmatrix}}}$ 整数 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {Z} \end{smallmatrix}}}$ 负整數 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {Z} ^{-}\end{smallmatrix}}}$ 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {Z} [\omega ]\end{smallmatrix}}}$

延伸

雙複數 四元數 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {H} \end{smallmatrix}}}$ 共四元數 八元數 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {O} \end{smallmatrix}}}$ 超數 上超實數 超复数 十六元數 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\mathbb {S} \end{smallmatrix}}}$ 複四元數 大實數 超實數 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{}^{\star }\mathbb {R} \end{smallmatrix}}}$ 超現實數

其他

对偶数 雙曲複數 序数 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限数 基數 P進數 規矩數 整數數列 數學常數 圓周率 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\pi \end{smallmatrix}}}$ = 3.141592653… 自然對數的底 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}e\end{smallmatrix}}}$ = 2.718281828… 虛數單位 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}i\end{smallmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}+{\sqrt {-1}}\end{smallmatrix}}}$ 無窮大 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\infty \end{smallmatrix}}}$

虛數，即實數部分為0的複數。“虛數”這個名詞是17世纪著名數學家笛卡爾創製，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面，複平面上每一點對應着一個複數。

每一個虛數可表達為 ${\displaystyle ib\,}$，其中 ${\displaystyle b\,}$ 是實數，虛數單位${\displaystyle i\,}$ 的定义是：

${\displaystyle i^{2}=-1\,}$

或者

${\displaystyle i=+{\sqrt {-1}}\,}$

我們應該將根號視為求 ${\displaystyle x^{2}}$ 的解，故將一個數開根號後會有兩個合理的值，此二值互相差一個負號。在將正數開根號時，這兩個值一為正數一為負數，故習慣上直接將根號對應到正值，而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應，${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 實際上代表的是兩個數，分別為 ${\displaystyle +i}$ 及 ${\displaystyle -i}$。但若直接將 ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 對應到${\displaystyle +i}$，而 ${\displaystyle -{\sqrt {-1}}}$ 對應到 ${\displaystyle -i}$ 也未嘗不可。

${\displaystyle i}$ 稱為虛數單位。在電子學及相關領域內，${\displaystyle i}$ 通常表達電流，故改為以 ${\displaystyle j}$ 表示虛數單位。每個複數可唯一地寫成一個實數及一個虛數的和。

${\displaystyle i}$ 的高次方會不斷作以下的循環：

${\displaystyle i^{0}=1\,}$

${\displaystyle i^{1}=i\,}$

${\displaystyle i^{2}=-1\,}$

${\displaystyle i^{3}=-i\,}$

${\displaystyle i^{4}=1\,}$

${\displaystyle i^{5}=i\,}$

${\displaystyle i^{6}=-1\,}$

${\displaystyle i^{7}=-i\,}$

則:

${\displaystyle i^{4k+1}=i\,}$

${\displaystyle i^{4k+2}=-1\,}$

${\displaystyle i^{4k+3}=-i\,}$

${\displaystyle i^{4k}=1\,}$

其中k為正整數。

...

由於虛數特殊的運算規則，出現了下列算式

${\displaystyle i^{1}+i^{2}+i^{3}+i^{4}=0\,}$

這也暗示了${\displaystyle i\,}$ 為方程 ${\displaystyle x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=0\,}$ 的根，另三個根分別為 ${\displaystyle -i,-1\,}$ 及${\displaystyle 0\,}$ 。

由於虛數特殊的運算規則，出現了符號

${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0\,}$

${\displaystyle \omega ^{3}=1\,}$ 的簡式。

如果再將這個概念擴展開去，就可以組成四元數（Quaternion）、八元數（Octonion）等特殊數學範疇。

而不同的虛數都是不能比較大小的：

${\displaystyle 1<2\,}$ 成立，但${\displaystyle 1+i<2+i\,}$和${\displaystyle i<2i\,}$ 卻均不成立。

舉例:

假設${\displaystyle i>0\,}$

平方得${\displaystyle i^{2}>0\,}$

得${\displaystyle -1>0\,}$即可看出矛盾。

再舉:

假設${\displaystyle i<0\,}$

平方得${\displaystyle i^{2}>0\,}$(要變號)

得${\displaystyle -1>0\,}$即可看出矛盾。

因此虛數及複數(含i)不能比較大小。

參看[编辑]

• 四元數
• 八元數

参考资料[编辑]

• 虛數i的介紹
• ${\displaystyle i^{7321}\,}$的計算方法舉例
• i作為-1的平方根

分类：

• 複數